PID Controller¶

Basic concept¶

时域指标

衰减比\(n=\frac{B}{B'}\)

\(B\), \(B'\) 是相邻两个波峰值。要减去稳态值\(C\).

超调量与最大动态偏差

超调量：

\[ \sigma=\frac{B}{C} \]

最大动态偏差用在稳态值 \(C\) 比较小时候

\[ A=|B+C| \]

余差: 设定值和稳态值的差 \(e(\infty)=r-c(\infty)=r-C\)
调节时间 \(t_s\) : 表示进入稳态值附近 \(5\%\)/\(2\%\) (相对于旧稳态值)的时间，即 \(y_\infty \pm 0.05|y_\infty-y_0|\)
振荡频率: \(\beta=\frac{2\pi}{T}\) 是调节时间的倒数。
峰值时间: 第一次到达最大值/最小值的时间 \(t_p\)
上升时间：第一次达到稳态值的时间 \(t_r\).

偏差积分(IE)性能指标

IE: \(\int_0^\infty e dt\) 对于等幅振荡无效。
IAE: \(\int_0^\infty |e| dt\)，对于具有较快的过渡过程、不大超调适用
ISE: \(\int_0^\infty e^2 dt\), 抑制大偏差，数学好用
ITAE: \(\int_0^\infty t |e| dt\), 前期抑制小，后期大，从而前期偏差大

P control¶

\[ u(t)=K_C(y_{sp}(t)-y_m(t))+u_0 \]

where \(u_0\) 是稳态工作点。传递函数为

\[ G_C(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=K_C \]

\(K_C\)	余差	衰减比	稳定性
变大	变小	变小	从负实根到虚根到复根，变差

注: 始终存在余差，增益越大，余差越小。

PI control¶

积分作用：

\[ u(t)=u_0+\int_0^t e(s)ds \]

比例积分作用：

\[ u(t)=u_0+K_c\left(e(t)+\frac{1}{T_i}\int_0^te(s)ds\right) \]

传递函数为

\[ G_C(s)=K_C(1+\frac{1}{T_i s}) \]

可消除余差，相同情况下，有了积分，比例要下降，这导致控制精度下降

\(K_C\)	\(T_I\)	余差	衰减比	稳定性
不变	变小	0		变差

应用场合：系统动态特性比较快（不能用微分），大惯性系统，积分作用不能太强
注意积分饱和问题。

PID control¶

\[ u(t)=u_0+K_c\left(e(t) +\frac{1}{T_i}\int_0^te(s)ds+ T_d\frac{d}{dt} e(t) \right) \]

传递函数为

\[ G_C(s)=K_C\left(1+\frac{1}{T_i s}+T_ds\right) \]

系统时间常数减小，
高频信号不宜使用微分，会造成振荡，建议引入微分前先使用一节滤波或平均滤波。
微分对于纯滞后没有作用

PID 应用场合¶

控制器	P控制	PI控制	PID控制
应用场合	工艺要求不高，如储罐液位（保持在上下界内都可，不要求余差为0）	滞后小，动态特性好，如压力、流量控制	负载变化大，时间常数大的系统，如温度与成分控制

数字PID控制器¶

数字滤波器¶

中位值滤波: 连续采样三次，从中选择大小居中的值作为有效测量信号。

注: 对于流量检测不适用，因为流量变化太快。

递推平均滤波: 选择第k次采样之前的N次采样的平均

\[ \overline{y}(k)=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}y(k-i) \]

注: \(N\) 越大，滤波效果好，但会有滞后

注: 一般流量 \(N=12\), 压力 \(N=4\), 温度不使用

加权平均滤波: 加权的递推平均滤波。
一阶滞后数字滤波: 只有两项的加权平均滤波。

数字PID控制算法¶

位置式和增量式

控制算法	位置式	增量式
误差	容易累计误差	不容易产生累计误差
积分饱和	容易限幅，造成积分饱和	不容易

不完全微分：将一阶低通滤波器\(\frac{1}{1+T_is}\)加到微分环节，使得微分环节分多次输出，每次输出幅值较小。目标是防止阶跃很大时微分输出很大。
微分先行：将微分环节只加在测量变送环节，不加在设定值后，可以防止设定值突变的影响。对于温度控制器比较常用。

流量控制回路¶

特点: 响应快, 测量噪声大
PI控制，且比例小，积分大